Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 44
Les diviseurs d'un nombre entier naturel
Je sais trouver tous les diviseurs d'un nombre entier, reconnaître un nombre premier et trouver les diviseurs communs à deux nombres.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un diviseur d'un nombre entier naturel
- Faire la liste complète des diviseurs d'un nombre par la méthode des paires
- Reconnaître un nombre premier
- Trouver les diviseurs communs à deux nombres et le plus grand d'entre eux
Avant de commencer : Les multiples d'un nombre entier naturel et les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10.
1Je découvre
Pour la fête de fin d'année de l'école, à Boffa, Monsieur Camara, le directeur, a reçu 24 cahiers et 36 stylos. Il veut préparer des lots identiques pour les meilleurs élèves, en utilisant tous les cahiers et tous les stylos.
Sa fille Kadiatou propose 5 lots. Il secoue la tête : « 24 cahiers ne se partagent pas en 5 lots égaux : il en resterait. » Elle propose 6 lots : 24 cahiers donnent 4 cahiers par lot, et 36 stylos donnent 6 stylos par lot. Cela fonctionne !
Le directeur voudrait récompenser le plus d'élèves possible. Peut-il faire plus de 6 lots ? Pour répondre, il faut chercher les nombres qui partagent exactement 24 et 36.
Qu'est-ce qu'un diviseur d'un nombre, comment trouver tous les diviseurs d'un nombre, et comment trouver les diviseurs communs à deux nombres ?
2Je comprends
1. Définition
Définition. Un nombre entier naturel b (non nul) est un diviseur du nombre entier naturel a si la division de a par b tombe juste, c'est-à-dire si le reste est 0. Autrement dit, il existe un entier k tel que a = b × k.
On dit alors aussi : « b divise a », « a est divisible par b », « a est un multiple de b ». Ces quatre phrases disent la même chose.
Exemple : 24 = 6 × 4. Donc 6 est un diviseur de 24, 4 est aussi un diviseur de 24, et 24 est un multiple de 6 et de 4.
Remarques.
- 1 est un diviseur de tous les nombres entiers.
- Tout nombre non nul est un diviseur de lui-même.
- Un nombre non nul a un nombre limité de diviseurs, tous inférieurs ou égaux à lui-même (contrairement aux multiples, qui sont en nombre infini).
2. Trouver tous les diviseurs : la méthode des paires
Chaque fois qu'on trouve un diviseur b de a, on en trouve un second : le quotient a ÷ b. Les diviseurs vont donc par paires.
Méthode
Pour écrire la liste de tous les diviseurs d'un nombre a :
- J'essaie de diviser a par 1, 2, 3, 4… dans l'ordre, en utilisant les critères de divisibilité.
- Chaque fois que la division tombe juste, j'écris la paire : a = b × k.
- Je m'arrête quand le diviseur essayé devient plus grand que le quotient (les paires recommencent à l'envers).
- J'écris tous les diviseurs trouvés dans l'ordre croissant, entre accolades.
Exemple
Trouver tous les diviseurs de 36.
36 = 1 × 36
36 = 2 × 18
36 = 3 × 12
36 = 4 × 9
5 ne divise pas 36 (unités 6).
36 = 6 × 6 : le diviseur et le quotient sont égaux, on s'arrête.
Diviseurs de 36 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36}. Il y en a 9.
Exemple
Trouver tous les diviseurs de 60.
60 = 1 × 60 ; 60 = 2 × 30 ; 60 = 3 × 20 ; 60 = 4 × 15 ; 60 = 5 × 12 ; 60 = 6 × 10.
7 ne divise pas 60 (60 = 7 × 8 + 4) ; 8 ne divise pas 60 (60 = 8 × 7 + 4) ; 9 ne divise pas 60 (somme des chiffres 6).
Le suivant à essayer, 10, est déjà dans la liste : on s'arrête.
Diviseurs de 60 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60}. Il y en a 12.
3. Les nombres premiers
Certains nombres ont très peu de diviseurs.
Définition. Un nombre premier est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
- 15 n'est pas premier : il est divisible par 3 et par 5.
- 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
- 2 est le seul nombre premier pair.
Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.
4. Les diviseurs communs
Un diviseur commun à deux nombres est un nombre qui divise à la fois l'un et l'autre.
Exemple
Retour aux lots du directeur. Trouver les diviseurs communs à 24 et 36.
Diviseurs de 24 : 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6, donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24}.
Diviseurs de 36 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36}.
Diviseurs communs : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}.
Le plus grand diviseur commun est 12.
Le directeur peut faire au maximum 12 lots, chacun avec 24 ÷ 12 = 2 cahiers et 36 ÷ 12 = 3 stylos.
Le plus grand diviseur commun à deux nombres sera étudié en 8e sous le nom de PGCD. On remarque déjà que tous les diviseurs communs de 24 et 36 sont les diviseurs de 12.
Deux nombres dont le seul diviseur commun est 1 sont dits premiers entre eux. Par exemple, 8 et 15 : diviseurs de 8 : {1 ; 2 ; 4 ; 8} ; diviseurs de 15 : {1 ; 3 ; 5 ; 15} ; seul diviseur commun : 1.
5. Multiples et diviseurs : le lien
- 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24…
- Il y en a une infinité
- Ils sont plus grands que 6 (sauf 0 et 6)
- 1 ; 2 ; 3 ; 6
- Il y en a un nombre limité
- Ils sont plus petits que 6 ou égaux à 6
3Je retiens
Je retiens
b est un diviseur de a si la division de a par b tombe juste (reste 0) : a = b × k.
« b divise a », « a est divisible par b », « a est un multiple de b » veulent dire la même chose.
1 divise tous les nombres ; tout nombre non nul se divise lui-même.
Pour trouver tous les diviseurs, je cherche les paires a = b × k et je m'arrête quand b dépasse k.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n'est pas premier.
Premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
4Erreurs fréquentes
- Oublier 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
- Oublier le deuxième nombre de chaque paire : si 3 divise 36, alors 12 aussi (36 = 3 × 12).
- Dire que 1 est premier : il n'a qu'un seul diviseur, alors qu'un nombre premier en a exactement deux.
- Croire que tous les nombres impairs sont premiers : 9, 15, 21, 27 ne le sont pas.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris la liste de tous les diviseurs de : a) 18 b) 28 c) 45 d) 17
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a) 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6. Diviseurs de 18 : {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18}.
b) 28 = 1 × 28 = 2 × 14 = 4 × 7 (3, 5 et 6 ne divisent pas 28). Diviseurs : {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28}.
c) 45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9 (2, 4 et 6 ne divisent pas 45). Diviseurs : {1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45}.
d) 17 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4 (et 5 × 5 = 25 dépasse déjà 17). Diviseurs : {1 ; 17}.
2Exercice 2
Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ? Justifie pour ceux qui ne le sont pas.
1 ; 2 ; 9 ; 19 ; 21 ; 27 ; 31 ; 51
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Premiers : 2 ; 19 ; 31.
Pas premiers : 1 (un seul diviseur) ; 9 = 3 × 3 ; 21 = 3 × 7 ; 27 = 3 × 9 ; 51 = 3 × 17 (somme des chiffres 5 + 1 = 6, multiple de 3).
3Exercice 3
Recopie et complète par « divise », « est un multiple de » ou « est un diviseur de ».
a) 7 … 42 b) 50 … 10 c) 9 … 81
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a) 7 divise 42 (ou 7 est un diviseur de 42), car 42 = 7 × 6.
b) 50 est un multiple de 10, car 50 = 10 × 5.
c) 9 divise 81 (ou est un diviseur de 81), car 81 = 9 × 9.
4Exercice 4
Trouve les diviseurs communs à 30 et 45. Quel est le plus grand ?
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Diviseurs de 30 : 30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6, donc {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30}.
Diviseurs de 45 : {1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45}.
Diviseurs communs : {1 ; 3 ; 5 ; 15}. Le plus grand est 15.
5Exercice 5
(Problème) Une coopérative de femmes de Kissidougou a récolté 48 kg de piment et 72 kg de gingembre. Elle veut remplir des paniers identiques, avec le même nombre de kilogrammes de piment dans chaque panier et le même nombre de kilogrammes de gingembre dans chaque panier, en utilisant toute la récolte. Chaque panier doit contenir un nombre entier de kilogrammes de chaque produit.
a) Peut-on faire 8 paniers ? 10 paniers ?
b) Quel est le plus grand nombre de paniers possible ? Que contient alors chaque panier ?
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a) 8 divise 48 (48 = 8 × 6) et 8 divise 72 (72 = 8 × 9) : oui, on peut faire 8 paniers de 6 kg de piment et 9 kg de gingembre. 10 ne divise pas 48 (unités 8) : on ne peut pas faire 10 paniers.
b) Diviseurs de 48 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}.
Diviseurs de 72 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72}.
Diviseurs communs : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24}. Le plus grand est 24.
On peut faire au maximum 24 paniers, contenant chacun 48 ÷ 24 = 2 kg de piment et 72 ÷ 24 = 3 kg de gingembre.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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