Karamö, le prof virtuelLeçon 21 sur 44
Figures ayant un centre de symétrie
Je sais reconnaître si une figure a un centre de symétrie, le trouver, et compléter une figure pour qu'elle en ait un.
- 40 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le centre de symétrie d'une figure
- Trouver le centre de symétrie des figures usuelles
- Reconnaître les lettres, nombres et motifs qui ont un centre de symétrie
- Compléter une figure pour qu'elle admette un centre donné
Avant de commencer : Le symétrique d'un point et d'une figure par rapport à un point ; le milieu d'un segment ; le cercle.
1Je découvre
Au marché de Madina, Ibrahima regarde les tissus et les nattes. Sur une natte, il remarque un motif en forme de losange au milieu. Il fait tourner la natte d'un demi-tour sur le sol : le motif a exactement le même aspect qu'avant ! Il essaie avec un pagne décoré d'une grande lettre « F » : après un demi-tour, la lettre est à l'envers, on la reconnaît tout de suite.
Il fait la même expérience avec des lettres découpées dans du carton : « S », « N » et « Z » gardent le même aspect après un demi-tour ; « A », « E » et « F » non.
Ibrahima se demande : quelles figures restent identiques quand on les fait tourner d'un demi-tour ? Et autour de quel point faut-il les faire tourner ?
Comment savoir si une figure possède un centre de symétrie, et comment le trouver ?
2Je comprends
1. Définition
Un point O est un centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à O est la figure elle-même.
Autrement dit : chaque point de la figure a son symétrique par rapport à O qui appartient aussi à la figure. Quand on fait faire à la figure un demi-tour autour de O, elle se superpose exactement à elle-même.
Attention : le centre de symétrie n'est pas forcément un point de la figure (par exemple, le centre d'un cercle n'est pas sur le cercle).
2. Les figures usuelles
| Figure | A-t-elle un centre de symétrie ? | Lequel ? |
|---|---|---|
| segment [AB] | oui, un seul | son milieu |
| droite | oui, une infinité | chacun de ses points |
| cercle | oui, un seul | son centre |
| parallélogramme | oui, un seul | le point d'intersection de ses diagonales |
| rectangle, losange, carré | oui (ce sont des parallélogrammes) | l'intersection des diagonales |
| triangle | non, jamais | — |
| demi-droite | non | — |
| trapèze qui n'est pas un parallélogramme | non | — |
Pourquoi le triangle n'a-t-il pas de centre de symétrie ? Si un triangle avait un centre O, le symétrique de chaque sommet devrait être un sommet. Mais un triangle a 3 sommets : ils ne peuvent pas être regroupés par paires. Un sommet devrait être son propre symétrique, c'est-à-dire être le point O ; les deux autres sommets seraient alors symétriques par rapport à ce sommet, donc alignés avec lui : ce ne serait plus un triangle.
3. Les lettres et les chiffres
En majuscules d'imprimerie simples :
- ont un centre de symétrie : H, I, N, O, S, X, Z ;
- n'en ont pas : A, B, C, D, E, F, K, L, M, P, T, U, V, W, Y…
Pour les chiffres dessinés simplement, le 0 et le 8 ont un centre de symétrie. Le 6 et le 9 n'en ont pas : un demi-tour transforme le 6 en 9 !
Selon la façon d'écrire (police, écriture à la main), une lettre peut perdre son centre de symétrie : on raisonne toujours sur le dessin qu'on a sous les yeux.
4. Trouver le centre de symétrie d'une figure
Méthode
Pour trouver le centre de symétrie d'une figure :
- Je repère deux points de la figure qui semblent se correspondre par un demi-tour (par exemple deux sommets « opposés »).
- Je trace le segment qui les relie et je prends son milieu : c'est le centre possible O.
- Je vérifie avec d'autres points : chacun doit avoir son symétrique par rapport à O sur la figure.
- Si un seul point de la figure n'a pas son symétrique sur la figure, O n'est pas un centre de symétrie.
Exemple
Un rectangle EFGH a pour diagonales [EG] et [FH], qui se coupent en K. K est-il un centre de symétrie du rectangle ?
Un rectangle est un parallélogramme : ses diagonales ont le même milieu, qui est K.
K est le milieu de [EG] : E et G sont symétriques par rapport à K.
K est le milieu de [FH] : F et H sont symétriques par rapport à K.
Le symétrique du rectangle EFGH est donc GHEF, c'est-à-dire le même rectangle. K est son centre de symétrie.
5. Compléter une figure pour qu'elle ait un centre de symétrie
Méthode
Pour compléter une figure afin que le point O soit son centre de symétrie :
- Je construis le symétrique par rapport à O de chaque point important de la figure (sommets, extrémités, centres).
- Je relie ces nouveaux points comme ceux de départ.
- La figure complète est formée de la figure de départ et de sa symétrique.
Exemple
Sur un quadrillage, on a tracé le segment [AB] avec A(1 ; 0) et B(3 ; 2), et le point O(0 ; 0). Compléter pour que O soit centre de symétrie de la figure.
Le symétrique de A est A'(−1 ; 0) et celui de B est B'(−3 ; −2).
On trace [A'B']. La figure formée des segments [AB] et [A'B'] a O pour centre de symétrie.
6. Dans la vie courante
On trouve des centres de symétrie dans beaucoup d'objets : les pales d'un ventilateur à deux pales, une roue de vélo, certains motifs de tissus et de nattes, des carreaux de sol, des logos. Les artisans utilisent ce principe pour que le motif « se lise » dans les deux sens.
7. Retour au marché de Madina
Le motif en losange de la natte a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales. En tournant la natte d'un demi-tour autour de ce point, le motif se superpose à lui-même. La lettre F n'a pas de centre de symétrie : un demi-tour la retourne. Les lettres S, N et Z ont chacune un centre de symétrie, situé en leur milieu.
3Je retiens
Je retiens
O est un centre de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à O est la figure elle-même.
Segment : son milieu. Cercle : son centre. Droite : chacun de ses points.
Parallélogramme (et donc rectangle, losange, carré) : le point d'intersection des diagonales.
Un triangle n'a jamais de centre de symétrie.
Lettres majuscules simples ayant un centre de symétrie : H, I, N, O, S, X, Z.
Pour compléter une figure, je construis les symétriques de ses points importants par rapport au centre.
4Erreurs fréquentes
- Confondre centre de symétrie et axe de symétrie : la lettre A a un axe (vertical), mais pas de centre de symétrie.
- Croire que le centre doit être sur la figure : le centre d'un cercle n'est pas un point du cercle.
- Vérifier un seul point : il faut que tous les points aient leur symétrique sur la figure.
- Penser que tout quadrilatère a un centre de symétrie : un trapèze quelconque n'en a pas.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Parmi ces figures, lesquelles ont un centre de symétrie ? Précise lequel. a) un segment de 6 cm ; b) un triangle équilatéral ; c) un cercle de rayon 2 cm ; d) un carré ; e) une demi-droite.
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a) Oui : son milieu, situé à 3 cm de chaque extrémité.
b) Non : un triangle n'a jamais de centre de symétrie.
c) Oui : son centre.
d) Oui : le point d'intersection de ses diagonales.
e) Non : une demi-droite n'a qu'une seule origine ; un demi-tour l'envoie dans l'autre sens.
2Exercice 2
Parmi les lettres majuscules du mot GUINÉE (sans l'accent), puis du mot NIZOS, lesquelles ont un centre de symétrie ?
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Dans GUINEE : seules les lettres I et N ont un centre de symétrie (G, U et E n'en ont pas). Dans NIZOS : toutes les lettres (N, I, Z, O, S) en ont un.
3Exercice 3
Trace un parallélogramme ABCD et ses diagonales. Place son centre de symétrie O. Quel est le symétrique de A ? de B ? du segment [AB] ?
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Le centre O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]. O est le milieu de [AC] : le symétrique de A est C. O est le milieu de [BD] : le symétrique de B est D. Le symétrique du segment [AB] est donc le segment [CD] (et l'on retrouve CD = AB).
4Exercice 4
Dans un repère, place O(0 ; 0), A(2 ; 1), B(4 ; 1) et C(3 ; 3). Complète la figure (triangle ABC) pour que O soit un centre de symétrie de la figure obtenue. Donne les coordonnées des nouveaux points.
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Par rapport à l'origine, les coordonnées changent de signe : A'(-2 ; -1), B'(-4 ; -1), C'(-3 ; -3). On trace le triangle A'B'C'. La figure formée par les triangles ABC et A'B'C' a O pour centre de symétrie.
5Exercice 5
(Problème) Fatoumata veut fabriquer un panneau pour la coopérative de Kouroussa avec un dessin qui « se lise pareil » quand on le retourne d'un demi-tour.
a) Elle hésite entre un triangle, un rectangle et une lettre F. Lequel choisir ? Explique.
b) Le rectangle choisi mesure 80 cm sur 50 cm. Où se trouve son centre de symétrie ? À quelle distance de chaque grand côté se trouve-t-il ?
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a) Le triangle n'a pas de centre de symétrie, la lettre F non plus. Le rectangle en a un : c'est lui qu'elle doit choisir.
b) Le centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales, c'est-à-dire le « milieu » du rectangle. Il est à mi-distance des deux grands côtés : 50 ÷ 2 = 25 cm de chacun (et à 80 ÷ 2 = 40 cm de chaque petit côté).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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