Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 44
Le parallélogramme
Je sais reconnaître, construire un parallélogramme et utiliser ses propriétés (côtés, diagonales, angles, centre de symétrie).
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le parallélogramme
- Connaître ses propriétés (côtés opposés, diagonales, angles, centre de symétrie)
- Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
- Construire un parallélogramme de plusieurs façons
Avant de commencer : Droites parallèles ; quadrilatères (côtés opposés, diagonales) ; symétrie centrale et figures ayant un centre de symétrie ; angles supplémentaires.
1Je découvre
À Mamou, Lansana fabrique un portail en bois pour la concession familiale. Il assemble quatre planches : deux horizontales, bien parallèles, et deux obliques, parallèles entre elles aussi. Le cadre obtenu penche un peu, comme un rectangle qu'on aurait poussé sur le côté.
Sa sœur Hawa, en 7e, observe : « Les deux planches du haut et du bas ont la même longueur. Les deux obliques aussi. Et si tu cloues deux baguettes en croix d'un coin à l'autre, elles se croisent exactement en leur milieu ! »
Lansana n'est pas convaincu : « C'est un hasard, ou c'est toujours comme ça ? »
Quelles sont les propriétés d'un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, et comment le reconnaître ?
2Je comprends
1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
ABCD est un parallélogramme lorsque (AB) ∥ (CD) et (AD) ∥ (BC).
2. Les propriétés du parallélogramme
Tu as vu dans la leçon précédente qu'un parallélogramme a un centre de symétrie : le point O d'intersection de ses diagonales. De ce centre découlent toutes les autres propriétés, car la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles.
Si ABCD est un parallélogramme de centre O, alors :
| Propriété | Ce que l'on écrit |
|---|---|
| Diagonales : elles ont le même milieu | O est le milieu de [AC] et de [BD] : OA = OC et OB = OD |
| Côtés opposés : même longueur | AB = CD et AD = BC |
| Angles opposés : même mesure | A = C et B = D |
| Angles consécutifs : supplémentaires | A + B = 180° |
Pourquoi les côtés opposés ont-ils la même longueur ? Le symétrique de A par rapport à O est C, celui de B est D. Donc le symétrique du segment [AB] est [CD]. Comme la symétrie centrale conserve les longueurs : AB = CD.
Attention : en général, les diagonales d'un parallélogramme n'ont pas la même longueur et ne sont pas perpendiculaires. Elles ont seulement le même milieu.
Exemple
ABCD est un parallélogramme avec AB = 6 cm, BC = 4 cm et l'angle DAB = 70°. Trouver CD, AD, les autres angles et le périmètre.
Côtés opposés de même longueur : CD = AB = 6 cm et AD = BC = 4 cm.
Angles opposés égaux : BCD = DAB = 70°.
Angles consécutifs supplémentaires : ABC = 180° − 70° = 110°, et CDA = ABC = 110°.
Vérification : 70° + 110° + 70° + 110° = 360°.
Périmètre : 2 × (6 + 4) = 20 cm.
Exemple
EFGH est un parallélogramme de centre K, avec EG = 10 cm et FH = 7 cm. Calculer KE et KF.
Les diagonales ont le même milieu K :
KE = EG ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm ;
KF = FH ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
3. Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut utiliser l'une des propriétés suivantes (ce sont des « réciproques ») :
- Par la définition : si ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est un parallélogramme.
- Par les diagonales : si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
- Par les côtés : si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Méthode
Pour rédiger une démonstration :
- J'écris ce que je sais (les données de l'énoncé).
- Je cite la propriété utilisée : « Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. »
- Je conclus : « Donc ABCD est un parallélogramme. »
Exemple
Dans le quadrilatère MNPQ, les diagonales [MP] et [NQ] se coupent en I, avec IM = IP = 3 cm et IN = IQ = 5 cm. Quelle est la nature de MNPQ ?
On sait que I est le milieu de [MP] (IM = IP) et le milieu de [NQ] (IN = IQ).
Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc MNPQ est un parallélogramme.
4. Construire un parallélogramme
Méthode 1 : avec les parallèles (équerre et règle). On trace [AB] et [AD], puis la parallèle à (AB) passant par D et la parallèle à (AD) passant par B. Elles se coupent en C.
Méthode 2 : avec le compas (côtés opposés égaux).
Méthode
Pour construire le parallélogramme ABCD connaissant A, B et D :
- Je pique le compas en D avec l'écartement AB et je trace un arc.
- Je pique le compas en B avec l'écartement AD et je trace un arc qui coupe le premier.
- Le point d'intersection, du côté opposé à A, est C.
- Je trace [BC] et [DC] et je vérifie que les côtés opposés sont parallèles.
Méthode 3 : avec les diagonales. On trace [AC] et son milieu O, puis on place D, et on construit B symétrique de D par rapport à O.
5. Retour au portail de Lansana
Le cadre du portail a ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme. Ce n'est donc pas un hasard : ses côtés opposés ont toujours la même longueur et ses diagonales se coupent toujours en leur milieu. Hawa pourra même vérifier que le cadre est bien monté en mesurant les deux moitiés de chaque baguette en croix.
3Je retiens
Je retiens
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Ses diagonales ont le même milieu, qui est son centre de symétrie.
Ses côtés opposés ont la même longueur ; ses angles opposés ont la même mesure ; deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme : côtés opposés parallèles, ou diagonales de même milieu, ou côtés opposés de même longueur (quadrilatère non croisé).
Périmètre du parallélogramme de côtés a et b : 2 × (a + b).
4Erreurs fréquentes
- Croire que les diagonales d'un parallélogramme ont la même longueur : c'est vrai seulement pour le rectangle (et le carré).
- Croire que les diagonales sont perpendiculaires : c'est vrai seulement pour le losange (et le carré).
- Nommer le parallélogramme dans le désordre : dans ABCD, [AC] et [BD] sont les diagonales, pas des côtés.
- Démontrer avec une seule paire de côtés parallèles : il en faut deux (sinon c'est peut-être seulement un trapèze).
5Je m’exerce
1Exercice 1
RSTU est un parallélogramme avec RS = 7 cm et ST = 3,5 cm. Donne TU et UR, puis calcule son périmètre.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Côtés opposés égaux : TU = RS = 7 cm et UR = ST = 3,5 cm. Périmètre : 2 × (7 + 3,5) = 2 × 10,5 = 21 cm.
2Exercice 2
ABCD est un parallélogramme et ABC = 125°. Calcule les trois autres angles.
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Angles consécutifs supplémentaires : BAD = 180° - 125° = 55°. Angles opposés égaux : CDA = ABC = 125° et BCD = BAD = 55°. Vérification : 125 + 55 + 125 + 55 = 360.
3Exercice 3
EFGH est un parallélogramme de centre O avec OE = 4,5 cm et FH = 6 cm. Calcule EG et OF.
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O est le milieu de [EG] : EG = 2 × 4,5 = 9 cm. O est aussi le milieu de [FH] : OF = 6 ÷ 2 = 3 cm.
4Exercice 4
Construis le parallélogramme KLMN tel que KL = 6 cm, KN = 4 cm et LKN = 60°. Explique ta construction.
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Je trace [KL] de 6 cm. Au rapporteur, je trace l'angle LKN = 60° et je place N sur le côté à 4 cm de K. Je trace un arc de centre N et de rayon 6 cm (= KL) et un arc de centre L et de rayon 4 cm (= KN) : ils se coupent en M. Je trace [LM] et [NM]. Les côtés opposés ont la même longueur deux à deux : KLMN est un parallélogramme.
5Exercice 5
Trace deux segments [AC] et [BD] de longueurs différentes, qui se coupent en leur milieu I. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie par une propriété.
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On sait que I est le milieu de [AC] et de [BD]. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. (Comme les diagonales n'ont pas la même longueur, ce n'est pas un rectangle.)
6Exercice 6
(Problème) Un champ de Kissidougou a la forme d'un parallélogramme ABCD. Le côté [AB] mesure 45 m et le périmètre du champ est de 150 m. Un angle du champ mesure 65°.
a) Calcule la longueur des autres côtés.
b) Donne la mesure des trois autres angles.
c) Le propriétaire veut planter un arbre au centre de symétrie du champ. Comment le trouver sur le terrain avec deux cordes ?
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a) CD = AB = 45 m. Le périmètre vaut 2 × (AB + BC) = 150, donc AB + BC = 75 et BC = 75 - 45 = 30 m. Enfin AD = BC = 30 m.
b) L'angle opposé à celui de 65° mesure aussi 65° ; les deux autres mesurent 180° - 65° = 115° chacun.
c) Il tend une corde d'un coin au coin opposé (A à C), puis une autre de B à D. Le point où les deux cordes se croisent est le milieu des deux diagonales : c'est le centre de symétrie.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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