Karamö, le prof virtuelLeçon 26 sur 44
Simplifier une fraction
Je sais simplifier une fraction jusqu'à obtenir une fraction irréductible, en utilisant les diviseurs communs et les critères de divisibilité.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Simplifier une fraction en divisant ses deux termes par un diviseur commun
- Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
- Reconnaître et obtenir une fraction irréductible
- Simplifier en plusieurs étapes ou en une seule
Avant de commencer : Les diviseurs d'un nombre entier ; les fractions égales (propriété fondamentale).
1Je découvre
Au marché de Kindia, Aïssatou vend des mangues. Sur les 60 mangues qu'elle avait ce matin, elle en a vendu 45. Son père lui demande : « Quelle part de tes mangues as-tu vendue ? »
Aïssatou répond : « 4560 ! » Son père sourit : « C'est juste, mais c'est compliqué. Dis-le plus simplement. »
Aïssatou réfléchit. Elle range ses mangues par tas de 15 : elle avait 4 tas, elle en a vendu 3. Elle a donc vendu 34 de ses mangues ! C'est la même quantité, mais bien plus facile à comprendre.
Comment passer de 4560 à 34, et comment savoir qu'on ne peut plus simplifier ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce que simplifier une fraction ?
Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
D'après la propriété des fractions égales, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Pour que le résultat soit une fraction d'entiers, ce nombre doit être un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
4560 = 45 ÷ 1560 ÷ 15 = 34.
2. Les critères de divisibilité (rappel)
Pour trouver rapidement un diviseur commun, on utilise les critères de divisibilité :
| Un nombre est divisible par… | si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 | 348 |
| 5 | son chiffre des unités est 0 ou 5 | 735 |
| 10 | son chiffre des unités est 0 | 1 260 |
| 3 | la somme de ses chiffres est divisible par 3 | 471 : 4 + 7 + 1 = 12 |
| 9 | la somme de ses chiffres est divisible par 9 | 567 : 5 + 6 + 7 = 18 |
Exemple
Simplifier 18/24 en plusieurs étapes.
18 et 24 sont pairs : on divise par 2. 18/24 = 9/12.
9 et 12 sont divisibles par 3 (0 + 9 = 9 ; 1 + 2 = 3) : 9/12 = 3/4.
3 et 4 n'ont plus de diviseur commun autre que 1 : on s'arrête.
18/24 = 3/4.
3. La fraction irréductible
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On ne peut plus la simplifier.
Exemples : 34, 57, 89, 1120 sont irréductibles. 69 ne l'est pas (3 divise 6 et 9).
Attention : une fraction peut être irréductible même si ses termes ne sont pas des nombres premiers. 89 est irréductible alors que ni 8 ni 9 ne sont premiers : ils n'ont simplement pas de diviseur commun autre que 1.
Quand on demande de « simplifier », on va toujours jusqu'à la fraction irréductible.
Méthode
Pour simplifier une fraction jusqu'à la fraction irréductible :
- Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (critères de divisibilité : 2, 3, 5, 9, 10…).
- Je divise les deux termes par ce diviseur et j'écris la nouvelle fraction.
- Je recommence tant que je trouve un diviseur commun autre que 1.
- Quand il n'y en a plus, la fraction est irréductible.
- Je vérifie avec les produits en croix ou le quotient décimal.
4. Simplifier en une seule étape
Si l'on trouve le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur, on simplifie en une seule fois.
Exemple
Simplifier 36/48 en une seule étape.
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Le plus grand diviseur commun est 12.
36/48 = (36 ÷ 12)/(48 ÷ 12) = 3/4.
Exemple
Simplifier 84/126.
84 et 126 sont pairs : 84/126 = 42/63.
42 et 63 : 4 + 2 = 6 et 6 + 3 = 9, divisibles par 3 : 42/63 = 14/21.
14 et 21 sont divisibles par 7 : 14/21 = 2/3.
2 et 3 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : 84/126 = 2/3.
(En une seule étape : 84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3.)
Les deux méthodes donnent le même résultat final : la fraction irréductible est unique.
5. Écrire les termes en produits
Une autre façon de faire : on écrit le numérateur et le dénominateur sous forme de produits et on barre les facteurs communs.
3042 = 6 × 56 × 7 = 57.
On ne barre que des facteurs (des nombres multipliés), jamais des termes d'une addition : 3 + 53 + 7 n'est pas égal à 57 (en effet 810 = 0,8 alors que 57 ≈ 0,71).
6. À quoi sert la simplification ?
- À comprendre une proportion : « 34 des mangues » se comprend mieux que « 4560 ».
- À comparer facilement des fractions.
- À présenter un résultat final : dans un exercice ou un examen, on donne toujours la fraction irréductible.
- À calculer plus vite : 34 de 60 se calcule plus facilement que 4560 de 60.
7. Retour aux mangues d'Aïssatou
45 et 60 sont tous deux divisibles par 15 (c'est leur plus grand diviseur commun) : 4560 = 45 ÷ 1560 ÷ 15 = 34. Faire des tas de 15 mangues revenait exactement à diviser le numérateur et le dénominateur par 15. Comme 3 et 4 n'ont pas de diviseur commun autre que 1, 34 est irréductible.
3Je retiens
Je retiens
Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun.
La fraction obtenue est égale à la fraction de départ.
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
On simplifie toujours jusqu'à la fraction irréductible (en plusieurs étapes ou en une seule avec le plus grand diviseur commun).
Critères : 2 (unité paire), 5 (unité 0 ou 5), 10 (unité 0), 3 et 9 (somme des chiffres divisible par 3 ou 9).
On barre des facteurs communs, jamais des termes d'une somme.
4Erreurs fréquentes
- S'arrêter trop tôt : 18/24 = 9/12 n'est pas terminé, il faut aller jusqu'à 3/4.
- Diviser le numérateur et le dénominateur par des nombres différents : 12/18 ne devient pas 6/6.
- Barrer des chiffres identiques : dans 16/64, barrer les 6 donne 1/4 par hasard ; mais dans 12/24, barrer les 2 donnerait 1/4 alors que 12/24 = 1/2. Il faut diviser vraiment.
- Barrer des termes d'une somme : (2 + 5)/(2 + 9) n'est pas égal à 5/9.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Simplifie en une étape en utilisant le diviseur indiqué : a) 1422 par 2 ; b) 1535 par 5 ; c) 2736 par 9.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1422 = 14 ÷ 222 ÷ 2 = 711.
b) 1535 = 15 ÷ 535 ÷ 5 = 37.
c) 2736 = 27 ÷ 936 ÷ 9 = 34.
2Exercice 2
Ces fractions sont-elles irréductibles ? Justifie. a) 712 ; b) 915 ; c) 1021 ; d) 2233.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Diviseurs de 7 : 1 et 7 ; 7 ne divise pas 12. Irréductible.
b) 9 et 15 sont divisibles par 3. Pas irréductible : 915 = 35.
c) Diviseurs de 10 : 1, 2, 5, 10 ; aucun (sauf 1) ne divise 21. Irréductible.
d) 22 et 33 sont divisibles par 11. Pas irréductible : 2233 = 23.
3Exercice 3
Rends irréductibles : a) 2436 ; b) 5075 ; c) 6381 ; d) 120144.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le plus grand diviseur commun de 24 et 36 est 12 : 2436 = 23.
b) Divisibles par 25 : 5075 = 23.
c) Divisibles par 9 : 6381 = 79 ; 7 et 9 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
d) 120144 : par 2, 6072 ; par 12, 56. (En une étape : par 24.) Donc 120144 = 56.
4Exercice 4
Simplifie en écrivant les termes sous forme de produits : a) 3556 ; b) 4880.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3556 = 7 × 57 × 8 = 58.
b) 4880 = 16 × 316 × 5 = 35.
5Exercice 5
(Problème) Dans une classe de 7e à Nzérékoré, il y a 56 élèves, dont 24 filles.
a) Quelle fraction de la classe représentent les filles ? Donne la fraction irréductible.
b) Quelle fraction représentent les garçons ? Donne la fraction irréductible.
c) Vérifie que la somme des deux fractions est égale à 1 en les écrivant avec le même dénominateur.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Filles : 2456 = 24 ÷ 856 ÷ 8 = 37.
b) Garçons : 56 - 24 = 32, donc 3256 = 32 ÷ 856 ÷ 8 = 47.
c) Les deux fractions ont déjà le dénominateur 7 : 37 + 47 = 77 = 1. Toute la classe est bien comptée.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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