Karamö, le prof virtuelLeçon 28 sur 44
Figures symétriques par rapport à une droite
Je sais construire le symétrique d'un point et d'une figure par rapport à une droite, à l'équerre, au compas ou sur quadrillage.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la médiatrice d'un segment
- Définir le symétrique d'un point par rapport à une droite
- Construire ce symétrique à l'équerre et au compas
- Construire le symétrique d'une figure sur papier blanc et sur quadrillage
- Distinguer symétrie axiale et symétrie centrale
Avant de commencer : Droites perpendiculaires ; milieu d'un segment ; le compas ; la symétrie par rapport à un point.
1Je découvre
Au bord du fleuve Niger, à Siguiri, Fatoumata regarde une pirogue immobile sur l'eau calme. Dans l'eau, elle voit le reflet de la pirogue et des arbres, la tête en bas. « On dirait que le paysage est plié en deux le long du bord de l'eau ! » dit-elle.
À l'école, le maître fait une expérience : il plie une feuille en deux, fait une tache d'encre d'un côté du pli, puis referme la feuille et appuie. En l'ouvrant, une deuxième tache apparaît de l'autre côté du pli, exactement « en face ». Les deux taches forment un joli papillon.
Fatoumata remarque que ce n'est pas un demi-tour comme dans la symétrie centrale : ici, c'est un pliage, et la ligne du pli joue un rôle essentiel.
Comment construire avec précision le « reflet » d'un point ou d'une figure par rapport à une droite ?
2Je comprends
1. La médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu.
Si on plie la feuille le long de la médiatrice de [AB], le point A vient exactement sur le point B.
2. Symétrique d'un point par rapport à une droite
Soit (d) une droite, appelée axe de symétrie.
- Si le point A n'est pas sur (d) : son symétrique par rapport à (d) est le point A' tel que (d) est la médiatrice du segment [AA']. Autrement dit : (AA') est perpendiculaire à (d), et (d) coupe [AA'] en son milieu.
- Si le point A est sur (d) : son symétrique est lui-même.
Cette transformation s'appelle la symétrie axiale (ou symétrie orthogonale) d'axe (d). Elle correspond à un pliage le long de (d) : A et A' se superposent quand on plie.
3. Construire le symétrique d'un point à l'équerre
Méthode
Pour construire A', symétrique de A par rapport à (d), à l'équerre et à la règle graduée :
- Avec l'équerre, je trace la droite perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d) en H.
- Je mesure la distance AH.
- Sur la perpendiculaire, de l'autre côté de (d), je place A' tel que HA' = HA.
- Je code la figure : angle droit en H, deux traits identiques sur [HA] et [HA'].
4. Construire le symétrique d'un point au compas
Cette méthode est très précise et n'utilise ni équerre ni graduation.
Méthode
Pour construire A' au compas :
- Je choisis deux points M et N sur la droite (d), bien écartés.
- Je pique le compas en M, je prends l'écartement MA et je trace un arc de l'autre côté de (d).
- Je pique le compas en N, je prends l'écartement NA et je trace un arc qui coupe le premier.
- Le point d'intersection des deux arcs est A'.
Pourquoi cela marche ? M est à la même distance de A et de A', et N aussi. Or les points situés à égale distance des extrémités d'un segment sont exactement les points de sa médiatrice. Donc (MN), c'est-à-dire (d), est la médiatrice de [AA'].
5. Sur un quadrillage
Quand l'axe suit les lignes du quadrillage (horizontal ou vertical), on compte les carreaux :
- le point A' est sur la même ligne perpendiculaire à l'axe que A ;
- il est à la même distance de l'axe, de l'autre côté.
Exemple
Dans un repère, l'axe (d) est l'axe des ordonnées (la droite verticale passant par l'origine). Trouver le symétrique de A(3 ; 2).
A est à 3 carreaux à droite de l'axe. Son symétrique est à 3 carreaux à gauche, sur la même ligne horizontale.
A'(−3 ; 2). L'ordonnée ne change pas, l'abscisse change de signe.
Exemple
L'axe (d) est la droite horizontale passant par les points d'ordonnée 1. Trouver le symétrique de B(2 ; 4).
B est 3 carreaux au-dessus de l'axe (4 − 1 = 3). Son symétrique est 3 carreaux au-dessous, sur la même verticale : ordonnée 1 − 3 = −2.
B'(2 ; −2).
Quand l'axe est une diagonale du quadrillage, on se déplace en diagonale, à travers les carreaux, perpendiculairement à l'axe.
6. Symétrique d'une figure
Pour construire le symétrique d'une figure (segment, triangle, polygone, cercle), on construit les symétriques de ses points importants, puis on relie dans le même ordre.
Exemple
Construire le symétrique du triangle ABC par rapport à la droite (d).
- Je construis A', B', C', symétriques de A, B, C par rapport à (d).
- Je trace le triangle A'B'C'.
- Si un sommet est sur (d), il est son propre symétrique : je le garde tel quel.
Le triangle A'B'C' est le « reflet » de ABC dans un miroir placé sur (d).
Pour un cercle, il suffit de construire le symétrique de son centre et de garder le même rayon.
7. Symétrie axiale et symétrie centrale
| Symétrie centrale (centre O) | Symétrie axiale (axe (d)) | |
|---|---|---|
| Geste | demi-tour autour de O | pliage le long de (d) |
| Définition | O est le milieu de [AA'] | (d) est la médiatrice de [AA'] |
| Point fixe | seulement O | tous les points de (d) |
| Aspect de la figure | tournée d'un demi-tour | retournée (comme dans un miroir) |
8. Retour au fleuve Niger
Le bord de l'eau joue le rôle de l'axe (d). Chaque point de la pirogue et son reflet sont sur une même ligne perpendiculaire à la surface de l'eau, à la même distance de part et d'autre. Le reflet est le symétrique de la pirogue par rapport à la surface de l'eau. Le papillon d'encre est aussi une figure et son symétrique par rapport à la ligne de pliage.
3Je retiens
Je retiens
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.
A' est le symétrique de A par rapport à (d) si (d) est la médiatrice de [AA'] ; si A est sur (d), A' = A.
À l'équerre : perpendiculaire à (d) passant par A, puis report de la distance de l'autre côté.
Au compas : deux arcs centrés sur deux points de (d), passant par A ; ils se recoupent en A'.
Symétrique d'une figure : je construis les symétriques des points importants et je relie dans le même ordre.
La symétrie axiale est un pliage ; la symétrie centrale est un demi-tour.
4Erreurs fréquentes
- Tracer le symétrique « en face » mais sans perpendiculaire : le segment [AA'] doit être perpendiculaire à l'axe.
- Reporter une distance différente de l'autre côté : A et A' doivent être à la même distance de l'axe.
- Confondre avec la symétrie centrale et faire un demi-tour autour d'un point de l'axe.
- Sur un quadrillage avec un axe oblique, compter les carreaux horizontalement au lieu de se déplacer perpendiculairement à l'axe.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trace une droite (d) et un point A situé à 3 cm de (d). Construis à l'équerre le point A' symétrique de A par rapport à (d). Combien mesure AA' ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Avec l'équerre, je trace la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en H avec AH = 3 cm. Je place A' de l'autre côté, avec HA' = 3 cm. Comme H est le milieu de [AA'] : AA' = 3 + 3 = 6 cm.
2Exercice 2
Trace une droite (d) et un point B hors de (d). Construis au compas le symétrique B' de B par rapport à (d). Écris les étapes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
- Je place deux points M et N sur (d).
- Je trace l'arc de centre M et de rayon MB, de l'autre côté de (d).
- Je trace l'arc de centre N et de rayon NB ; il coupe le premier en B'.
- B' est le symétrique de B : (d) est la médiatrice de [BB'].
3Exercice 3
Dans un repère, l'axe est l'axe des ordonnées. Donne les coordonnées des symétriques de : A(4 ; 1), B(-2 ; 3), C(0 ; -5).
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Par rapport à l'axe des ordonnées, l'abscisse change de signe et l'ordonnée reste la même : A'(-4 ; 1), B'(2 ; 3), C'(0 ; -5). Le point C est sur l'axe : c'est son propre symétrique.
4Exercice 4
Dans un repère, l'axe est l'axe des abscisses (la droite horizontale passant par l'origine). Construis le symétrique du triangle EFG avec E(1 ; 1), F(4 ; 2), G(2 ; 4), et donne les coordonnées de E', F', G'.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Par rapport à l'axe des abscisses, l'abscisse reste la même et l'ordonnée change de signe : E'(1 ; -1), F'(4 ; -2), G'(2 ; -4). On trace le triangle E'F'G' : c'est le reflet de EFG sous l'axe.
5Exercice 5
(Problème) Sur la route qui longe la rivière, Kadiatou habite au point K, à 150 m de la route. La route est une ligne droite (d). Son frère Alpha dit : « Le point K', symétrique de ta maison par rapport à la route, est à 300 m de ta maison. »
a) Alpha a-t-il raison ? Explique.
b) Le point H où la perpendiculaire à la route passant par K coupe la route : quelle est la distance HK' ?
c) Un point M de la route est à 200 m de K. À quelle distance est-il de K' ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Oui. K' est sur la perpendiculaire à la route passant par K, à 150 m de l'autre côté ; KK' = 150 + 150 = 300 m.
b) H est le milieu de [KK'] : HK' = HK = 150 m.
c) La route est la médiatrice de [KK']. Or tout point de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment : MK' = MK = 200 m. (C'est aussi la conséquence du pliage : en pliant le long de la route, K vient sur K' et M ne bouge pas.)
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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