Karamö, le prof virtuelLeçon 29 sur 44
Propriétés des figures symétriques par rapport à une droite
Je connais ce que la symétrie axiale conserve (longueurs, angles, alignement, parallélisme, aires) et je l'utilise pour justifier et calculer.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les propriétés de conservation de la symétrie axiale
- Construire le symétrique d'une droite, d'un segment, d'un cercle
- Utiliser la propriété de la médiatrice (égale distance)
- Justifier une longueur ou un angle à l'aide de la symétrie axiale
Avant de commencer : Le symétrique d'un point et d'une figure par rapport à une droite ; la médiatrice ; les propriétés de la symétrie centrale.
1Je découvre
À Pita, Alpha et sa sœur Mariama décorent le mur de leur case avec un motif traditionnel. Alpha a peint un triangle à gauche d'une ligne verticale tracée à la craie. Mariama doit peindre le motif symétrique à droite de la ligne.
Alpha propose : « Plie une grande feuille le long de la ligne, décalque, et tu auras le reflet. » Mariama préfère calculer : « Si ton triangle a un côté de 30 cm et un angle de 50°, le mien aura-t-il aussi 30 cm et 50° ? Je peux peindre sans tout remesurer ? »
Alpha hésite : « Avec le demi-tour, les longueurs étaient conservées. Mais avec le pliage, la figure est retournée… c'est peut-être différent ? »
Qu'est-ce que la symétrie par rapport à une droite conserve, et qu'est-ce qu'elle change ?
2Je comprends
1. La symétrie axiale conserve les longueurs
Propriété 1. Le symétrique d'un segment [AB] par rapport à une droite (d) est le segment [A'B'], et A'B' = AB.
C'est naturel : quand on plie la feuille le long de (d), le segment [AB] vient se poser exactement sur [A'B']. Deux figures qui se superposent par pliage ont les mêmes dimensions.
2. Les autres propriétés de conservation
La symétrie axiale conserve :
- les longueurs (propriété 1) ;
- l'alignement : les symétriques de points alignés sont alignés ;
- les mesures d'angles : le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ;
- le parallélisme et la perpendicularité : les symétriques de deux droites parallèles (ou perpendiculaires) sont parallèles (ou perpendiculaires) ;
- le milieu : le symétrique du milieu de [AB] est le milieu de [A'B'] ;
- le périmètre et l'aire des figures.
Ce qu'elle change : la position et l'orientation. La figure est retournée : si on tourne autour de ABC dans le sens des aiguilles d'une montre, on tourne autour de A'B'C' dans le sens contraire. C'est pour cela que ton image dans un miroir lève la main gauche quand tu lèves la main droite.
3. Symétrique d'une droite
Le symétrique d'une droite par rapport à (d) est une droite. Trois cas :
| Position de la droite (Δ) | Sa symétrique (Δ') |
|---|---|
| (Δ) parallèle à l'axe (d) | une droite parallèle à (d), à la même distance, de l'autre côté |
| (Δ) perpendiculaire à l'axe (d) | (Δ) elle-même |
| (Δ) coupe (d) en un point I (sans être perpendiculaire) | une droite qui passe aussi par I |
Attention : contrairement à la symétrie centrale, la symétrique d'une droite par rapport à un axe n'est pas toujours parallèle à la droite de départ.
Pour tracer (Δ'), on construit les symétriques de deux points de (Δ) et on trace la droite qui les relie. Si (Δ) coupe l'axe en I, on peut utiliser I (qui est son propre symétrique) comme l'un des deux points.
4. Symétrique d'un cercle
Le symétrique d'un cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre O' (symétrique de O) et de même rayon r.
5. La propriété de la médiatrice
Comme (d) est la médiatrice de [AA'], et que la symétrie conserve les longueurs :
Propriété. Tout point M de la médiatrice d'un segment [AB] est à égale distance de A et de B : MA = MB.
Réciproque. Tout point à égale distance de A et de B est sur la médiatrice de [AB].
C'est ce qui permet de tracer la médiatrice au compas : on trace deux arcs de même rayon (plus grand que la moitié de AB) centrés en A et en B ; ils se coupent en deux points qui sont sur la médiatrice.
Exemple
M est un point de la médiatrice de [AB] avec MA = 5,2 cm. Combien mesure MB ? Quelle est la nature du triangle MAB ?
M est sur la médiatrice de [AB], donc MB = MA = 5,2 cm.
Le triangle MAB a deux côtés égaux : il est isocèle en M.
6. Utiliser les propriétés pour justifier
Méthode
Pour justifier une mesure avec la symétrie axiale :
- Je repère la figure de départ et sa symétrique par rapport à l'axe.
- J'identifie l'élément (segment, angle) et son symétrique.
- J'écris : « Comme [A'B'] est le symétrique de [AB] par rapport à (d), et que la symétrie axiale conserve les longueurs, A'B' = AB. »
- Je donne la valeur numérique avec l'unité.
Exemple
Le triangle RST a pour côtés RS = 4 cm, ST = 5 cm, RT = 3 cm, et l'angle SRT est droit. R'S'T' est son symétrique par rapport à une droite (d). Donner les longueurs, l'angle en R' et le périmètre de R'S'T'.
La symétrie axiale conserve les longueurs : R'S' = 4 cm, S'T' = 5 cm, R'T' = 3 cm.
Elle conserve les angles : S'R'T' = 90° ; R'S'T' est donc rectangle en R'.
Périmètre : 4 + 5 + 3 = 12 cm, comme celui de RST.
Exemple
Dans un repère, A(1 ; 3) et B(5 ; 3). On construit leurs symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Vérifier que A'B' = AB.
A'(1 ; −3) et B'(5 ; −3).
AB = 5 − 1 = 4 unités (même ordonnée). A'B' = 5 − 1 = 4 unités. On a bien A'B' = AB.
7. Comparaison des deux symétries
| Ce qui est conservé | Symétrie centrale | Symétrie axiale |
|---|---|---|
| longueurs, angles, alignement, aires | oui | oui |
| parallélisme | oui | oui |
| la droite image est parallèle à la droite de départ | toujours | pas toujours |
| orientation de la figure | conservée (demi-tour) | inversée (miroir) |
8. Retour au mur d'Alpha et Mariama
Mariama a raison : la symétrie par rapport à la ligne de craie conserve les longueurs et les angles. Son triangle aura aussi un côté de 30 cm et un angle de 50°. Il sera simplement retourné, comme un reflet dans un miroir. Elle peut peindre en reportant les mesures, en plaçant chaque sommet sur la perpendiculaire à la ligne, à la même distance.
3Je retiens
Je retiens
La symétrie axiale conserve les longueurs, l'alignement, les angles, le parallélisme, les milieux, le périmètre et l'aire.
Elle inverse l'orientation : la figure est retournée comme dans un miroir.
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, de centre le symétrique du centre.
La symétrique d'une droite n'est pas toujours parallèle à cette droite.
Tout point de la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B (et réciproquement).
4Erreurs fréquentes
- Croire que la symétrique d'une droite par rapport à un axe lui est toujours parallèle : c'est vrai seulement si la droite est parallèle à l'axe.
- Oublier que la figure est retournée : l'ordre des sommets tourne dans l'autre sens.
- Justifier « parce que c'est pareil » : il faut citer la propriété de conservation utilisée.
- Croire qu'un point à égale distance de A et B est forcément le milieu de [AB] : il peut être n'importe où sur la médiatrice.
5Je m’exerce
1Exercice 1
[E'F'] est le symétrique de [EF] par rapport à une droite (d), et EF = 6,3 cm. Donne E'F' en justifiant.
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[E'F'] est le symétrique de [EF] par rapport à (d) et la symétrie axiale conserve les longueurs : E'F' = EF = 6,3 cm.
2Exercice 2
L'angle xOy mesure 72°. Quelle est la mesure de son symétrique par rapport à une droite (d) ? Justifie.
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La symétrie axiale conserve les mesures d'angles : le symétrique de xOy mesure aussi 72°.
3Exercice 3
Un cercle a pour centre I et pour rayon 2,5 cm. Décris son symétrique par rapport à une droite (d). Que se passe-t-il si I est sur (d) ?
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Son symétrique est le cercle de centre I' (symétrique de I par rapport à (d)) et de rayon 2,5 cm. Si I est sur (d), alors I' = I : le cercle est son propre symétrique (l'axe (d) est un axe de symétrie du cercle).
4Exercice 4
M est un point de la médiatrice de [AB], avec AB = 6 cm et MA = 5 cm. a) Combien mesure MB ? b) Calcule le périmètre du triangle MAB. c) Quelle est la nature de ce triangle ?
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a) M est sur la médiatrice de [AB], donc MB = MA = 5 cm.
b) Périmètre : MA + MB + AB = 5 + 5 + 6 = 16 cm.
c) MA = MB : le triangle MAB est isocèle en M.
5Exercice 5
Dans un repère, l'axe est l'axe des ordonnées. On donne A(1 ; 0), B(3 ; 4). a) Donne les coordonnées de A' et B'. b) La droite (AB) et sa symétrique (A'B') sont-elles parallèles ? Explique en observant où elles coupent l'axe.
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a) L'abscisse change de signe : A'(-1 ; 0), B'(-3 ; 4).
b) Non. La droite (AB) coupe l'axe des ordonnées en un point I ; ce point est son propre symétrique, donc (A'B') passe aussi par I. Les deux droites ont un point commun et ne sont pas confondues : elles se coupent, elles ne sont pas parallèles.
6Exercice 6
(Problème) Deux villages, celui de Kadiatou (point K) et celui de Sékou (point S), sont situés de part et d'autre d'une route rectiligne, et S est le symétrique de K par rapport à la route. On veut construire un marché M au bord de la route.
a) Montre que, quelle que soit la place de M sur la route, les deux villages sont à la même distance du marché.
b) Si M est à 2,4 km du village de Kadiatou, à quelle distance est-il de celui de Sékou ?
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a) S est le symétrique de K par rapport à la route : la route est la médiatrice du segment qui relie les deux villages. Tout point M de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment : MK = MS, où qu'on place le marché sur la route.
b) 2,4 km, d'après la question a).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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