Karamö, le prof virtuelLeçon 30 sur 44
Figures ayant un axe de symétrie
Je sais reconnaître si une figure a un ou plusieurs axes de symétrie, les tracer, et compléter une figure pour qu'elle ait un axe donné.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'axe de symétrie d'une figure
- Connaître les axes de symétrie des figures usuelles (segment, angle, cercle, triangles, quadrilatères)
- Trouver les axes de symétrie de lettres et de motifs
- Compléter une figure par symétrie axiale
Avant de commencer : Le symétrique d'une figure par rapport à une droite et ses propriétés ; la médiatrice ; la bissectrice ; triangles et quadrilatères particuliers.
1Je découvre
Le jour de la fête de l'indépendance, Ousmane regarde le drapeau guinéen flotter devant la préfecture de Faranah. Il est formé de trois bandes verticales de même largeur : rouge, jaune et vert.
Il découpe un petit drapeau en papier et essaie de le plier pour que les deux moitiés se superposent exactement, couleurs comprises. En le pliant de gauche à droite, le rouge tombe sur le vert : ça ne marche pas. En le pliant de haut en bas, la moitié du haut tombe exactement sur celle du bas, avec les mêmes couleurs : ça marche !
Sa sœur Hawa fait la même chose avec un carré de tissu : elle trouve quatre façons de le plier en deux parties qui se superposent. Avec un cercle, elle n'arrive pas à compter toutes les façons.
Comment savoir si une figure possède un axe de symétrie, et combien elle en a ?
2Je comprends
1. Définition
Une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport à (d) est la figure elle-même.
Concrètement : si l'on plie la figure le long de (d), les deux parties se superposent exactement.
Une figure peut n'avoir aucun axe de symétrie, en avoir un, plusieurs, ou même une infinité.
2. Axes de symétrie des figures simples
| Figure | Nombre d'axes | Lesquels ? |
|---|---|---|
| segment [AB] | 2 | sa médiatrice et la droite (AB) |
| angle | 1 | la droite qui porte sa bissectrice |
| cercle | une infinité | toutes les droites qui passent par son centre |
| droite | une infinité | la droite elle-même et toutes les droites qui lui sont perpendiculaires |
L'axe de symétrie d'un angle explique la construction de la bissectrice au compas : en pliant le long de la bissectrice, un côté de l'angle vient sur l'autre.
3. Axes de symétrie des triangles
| Triangle | Nombre d'axes | Lesquels ? |
|---|---|---|
| quelconque | 0 | — |
| isocèle en A (non équilatéral) | 1 | la médiatrice de la base [BC], qui passe par A |
| équilatéral | 3 | les médiatrices des trois côtés |
Conséquence importante : dans un triangle isocèle, l'axe de symétrie échange les deux angles à la base. Comme la symétrie axiale conserve les angles, les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. L'axe est aussi la bissectrice de l'angle au sommet principal.
4. Axes de symétrie des quadrilatères
| Quadrilatère | Nombre d'axes | Lesquels ? |
|---|---|---|
| parallélogramme quelconque | 0 | (mais il a un centre de symétrie) |
| rectangle (non carré) | 2 | les médiatrices de ses côtés (droites passant par les milieux de deux côtés opposés) |
| losange (non carré) | 2 | ses deux diagonales |
| carré | 4 | ses 2 diagonales et les 2 médiatrices de ses côtés |
| trapèze isocèle | 1 | la médiatrice de ses deux bases |
Attention : les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie (sauf si c'est un carré). Essaie de plier une feuille rectangulaire le long de sa diagonale : les deux triangles ne se superposent pas.
5. Les lettres majuscules
En majuscules d'imprimerie simples :
- axe vertical : A, M, T, U, V, W, Y ;
- axe horizontal : B, C, D, E, K ;
- deux axes (vertical et horizontal) : H, I, X ;
- une infinité d'axes : O s'il est dessiné comme un cercle parfait ;
- aucun axe : F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.
On remarque que N, S et Z n'ont pas d'axe de symétrie, mais ont un centre de symétrie : les deux notions sont différentes.
6. Trouver les axes d'une figure
Méthode
Pour trouver les axes de symétrie d'une figure :
- Je cherche les droites qui partagent la figure en deux parties de même forme (mentalement ou par pliage).
- Pour chacune, je vérifie qu'en pliant, chaque point vient sur un point de la figure (pas seulement le contour, aussi les couleurs et les détails).
- Je trace chaque axe en pointillés ou en couleur.
- Je compte les axes trouvés.
Exemple
Combien d'axes de symétrie a un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 5 cm et 5 cm ? et 5 cm, 5 cm et 3 cm ? et 4 cm, 5 cm et 6 cm ?
5 cm, 5 cm, 5 cm : triangle équilatéral, 3 axes (les médiatrices des côtés).
5 cm, 5 cm, 3 cm : triangle isocèle, 1 axe (la médiatrice du côté de 3 cm).
4 cm, 5 cm, 6 cm : triangle quelconque, aucun axe.
7. Compléter une figure pour qu'elle ait un axe
Méthode
Pour compléter une figure afin que (d) soit son axe de symétrie :
- Je construis le symétrique par rapport à (d) de chaque point important de la figure (équerre, compas ou quadrillage).
- Je relie ces points comme ceux de départ.
- La figure complète = figure de départ + sa symétrique.
Exemple
Sur un quadrillage, l'axe est la droite verticale passant par les points d'abscisse 0. On a tracé la ligne brisée qui relie A(0 ; 4), B(2 ; 3), C(1 ; 0). Compléter pour que la figure ait cet axe de symétrie.
Symétriques : A est sur l'axe, donc A' = A ; B'(−2 ; 3) ; C'(−1 ; 0).
On trace la ligne brisée A, B', C'. La figure complète (C, B, A, B', C') a pour axe de symétrie la droite verticale.
8. Retour au drapeau et au carré
Le drapeau guinéen a trois bandes verticales rouge, jaune, vert. La droite horizontale qui passe par son milieu est un axe de symétrie : chaque bande se replie sur elle-même. La droite verticale du milieu n'en est pas un, car le rouge tomberait sur le vert. Le drapeau a donc un seul axe de symétrie. Le carré en a quatre, et le cercle une infinité : toutes les droites qui passent par son centre.
3Je retiens
Je retiens
Une droite est un axe de symétrie d'une figure si, en pliant le long de cette droite, les deux parties se superposent exactement.
Segment : 2 axes (médiatrice et droite support). Angle : 1 axe (sa bissectrice). Cercle : une infinité (les droites passant par le centre).
Triangle isocèle : 1 axe ; triangle équilatéral : 3 axes ; triangle quelconque : aucun.
Rectangle : 2 axes (médiatrices des côtés) ; losange : 2 axes (diagonales) ; carré : 4 axes ; parallélogramme quelconque : aucun.
Axe de symétrie et centre de symétrie sont deux notions différentes.
4Erreurs fréquentes
- Croire que les diagonales d'un rectangle sont des axes de symétrie : ce n'est vrai que pour le carré.
- Croire que le parallélogramme a un axe de symétrie : il n'en a pas (en général), il a seulement un centre.
- Oublier un axe : le carré en a quatre, pas deux ; le segment en a deux, pas un.
- Ne regarder que la forme et oublier les couleurs ou les détails : pour le drapeau, l'axe vertical ne marche pas à cause des couleurs.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne le nombre d'axes de symétrie de chaque figure : a) un rectangle de 8 cm sur 5 cm ; b) un losange non carré ; c) un triangle équilatéral ; d) un parallélogramme quelconque ; e) un cercle.
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a) 2 axes (les médiatrices de ses côtés).
b) 2 axes (ses diagonales).
c) 3 axes (les médiatrices de ses côtés).
d) Aucun axe.
e) Une infinité (toutes les droites passant par le centre).
2Exercice 2
Parmi les lettres du mot MATHS, lesquelles ont au moins un axe de symétrie ? Précise s'il est vertical ou horizontal.
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M : axe vertical. A : axe vertical. T : axe vertical. H : un axe vertical et un axe horizontal. S : aucun axe (il a seulement un centre de symétrie). Donc M, A, T et H ont au moins un axe de symétrie.
3Exercice 3
Trace un triangle ABC isocèle en A avec AB = AC = 5 cm et BC = 4 cm. Trace son axe de symétrie. Par quels points particuliers passe-t-il ?
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On trace [BC] de 4 cm, puis deux arcs de rayon 5 cm centrés en B et en C ; ils se coupent en A. L'axe de symétrie est la médiatrice de la base [BC] : elle passe par le milieu de [BC] et par le sommet principal A. C'est aussi la bissectrice de l'angle BAC.
4Exercice 4
Dans un repère, l'axe est l'axe des ordonnées. On a tracé la ligne brisée A(0 ; 5), B(3 ; 5), C(3 ; 2), D(1 ; 0). Complète la figure pour que l'axe des ordonnées soit un axe de symétrie. Donne les coordonnées des nouveaux points.
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Par rapport à l'axe des ordonnées, l'abscisse change de signe : A est sur l'axe, donc A' = A(0 ; 5) ; B'(-3 ; 5) ; C'(-3 ; 2) ; D'(-1 ; 0). On trace la ligne brisée A, B', C', D'. La figure complète est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
5Exercice 5
(Problème) Un menuisier de Kindia fabrique des plateaux décoratifs. Il hésite entre quatre formes : un carré, un rectangle non carré, un triangle équilatéral et un losange non carré.
a) Pour chaque forme, donne le nombre d'axes de symétrie.
b) Il veut la forme qui a le plus d'axes de symétrie. Laquelle choisir ?
c) Lesquelles de ces formes ont aussi un centre de symétrie ?
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a) Carré : 4 axes. Rectangle non carré : 2 axes. Triangle équilatéral : 3 axes. Losange non carré : 2 axes.
b) Le carré, avec 4 axes.
c) Le carré, le rectangle et le losange sont des parallélogrammes : ils ont un centre de symétrie (le point d'intersection des diagonales). Le triangle équilatéral n'en a pas, car un triangle n'a jamais de centre de symétrie.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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