Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 22
Le principe fondamental de l'hydrostatique
Je sais que la pression dans un liquide augmente avec la profondeur et je sais calculer une différence de pression entre deux points avec pB − pA = ρ × g × h.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Mettre en évidence l'existence de la pression dans un liquide et ses propriétés
- Énoncer le principe fondamental de l'hydrostatique
- Calculer une différence de pression, une pression ou une profondeur
- Connaître la masse volumique de l'eau
- Expliquer les vases communicants, le château d'eau et la forme des barrages
Avant de commencer : La leçon « La pression » (p = F / S, pascal, bar, pression atmosphérique) ; P = m × g ; la masse volumique ρ = m / V.
1Je découvre
Pendant les vacances, Ousmane accompagne son oncle pêcheur à Kamsar. En plongeant pour récupérer un filet accroché au fond, à quelques mètres, il sent ses oreilles lui faire mal : plus il descend, plus la douleur augmente. Quand il remonte, elle disparaît.
De retour chez lui, il remarque autre chose : le quartier est alimenté par un château d'eau, un grand réservoir perché très haut sur des piliers. Au rez-de-chaussée, l'eau sort du robinet avec force ; à l'étage d'un immeuble voisin, elle coule beaucoup plus doucement.
Enfin, en regardant une photo d'un grand barrage sur le fleuve Konkouré, il se demande pourquoi le mur du barrage est beaucoup plus épais en bas qu'en haut.
Ces trois observations ont un point commun : l'eau semble « appuyer » plus fort quand on est plus bas.
Comment varie la pression à l'intérieur d'un liquide, et comment la calculer ?
2Je comprends
1. Un liquide exerce des forces pressantes
Prenons une bouteille en plastique percée de trous à différentes hauteurs et remplissons-la d'eau. L'eau jaillit par tous les trous : elle appuie sur les parois. On observe aussi que le jet qui sort du trou du bas va le plus loin : l'eau y appuie le plus fort.
Un liquide au repos exerce donc des forces pressantes sur toutes les surfaces avec lesquelles il est en contact : les parois, le fond, et aussi tout objet plongé dedans. On parle de pression dans un liquide (ou pression hydrostatique).
2. La capsule manométrique : les propriétés de la pression
Pour étudier cette pression, on utilise une capsule manométrique : une petite boîte fermée par une membrane souple, reliée par un tuyau à un manomètre (un tube en U contenant un liquide coloré). Quand la membrane est enfoncée par la pression, le liquide coloré se déplace dans le tube en U : la dénivellation indique la pression.
On plonge la capsule dans un seau d'eau et on observe :
- La pression augmente avec la profondeur : plus on enfonce la capsule, plus la dénivellation est grande.
- Même profondeur, même pression : à une profondeur donnée, si l'on tourne la membrane vers le haut, vers le bas ou sur le côté, la dénivellation ne change pas. La pression s'exerce dans toutes les directions, et elle est la même en tous les points d'un même plan horizontal.
- La pression dépend du liquide : à la même profondeur, elle est plus grande dans l'eau salée que dans l'eau douce, et plus grande dans l'eau que dans l'huile. Elle dépend de la masse volumique du liquide.
- La forme du récipient n'a pas d'importance : dans un récipient large ou étroit, à la même profondeur, la pression est la même.
3. Le principe fondamental de l'hydrostatique
Ces observations se résument en une seule loi.
Principe fondamental de l'hydrostatique. Dans un liquide au repos, de masse volumique ρ, la différence de pression entre deux points A et B est :
pB - pA = ρ × g × h
- pA et pB : pressions en A et en B, en pascals (Pa) ;
- ρ (lettre grecque « rhô ») : masse volumique du liquide, en kg/m³ ;
- g : intensité de la pesanteur, en N/kg ;
- h : différence de profondeur (dénivellation) entre A et B, en mètres, B étant le point le plus profond.
Masses volumiques à connaître :
| Liquide | Masse volumique ρ |
|---|---|
| eau douce | 1 000 kg/m³ |
| eau de mer | environ 1 030 kg/m³ |
| huile | environ 900 kg/m³ |
| mercure | 13 600 kg/m³ |
Conséquences du principe :
- si h = 0 (deux points à la même profondeur), pB = pA : tous les points d'un même plan horizontal ont la même pression ;
- dans l'eau douce, avec g = 10 N/kg, la pression augmente de 1 000 × 10 × 1 = 10 000 Pa par mètre : environ 1 bar tous les 10 mètres.
Pression en un point à la profondeur h. À la surface libre d'un liquide en contact avec l'air, la pression est égale à la pression atmosphérique patm. À la profondeur h :
p = patm + ρ × g × h
Méthode
Pour appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique :
- Je repère les deux points et je calcule h, l'écart de profondeur entre eux, en mètres (convertir les cm).
- Je relève ρ (en kg/m³) et g (en N/kg) dans l'énoncé.
- J'écris pB − pA = ρ × g × h, B étant le point le plus profond.
- Je calcule la différence de pression en Pa ; si on me demande une pression, j'ajoute la pression du point le moins profond.
- Je conclus avec l'unité (Pa, hPa ou bar).
Exemple
Dans un puits, le point A est à 2 m sous la surface de l'eau et le point B à 5 m. Calculer pB − pA (eau douce, g = 10 N/kg).
h = 5 − 2 = 3 m.
pB − pA = ρ × g × h = 1 000 × 10 × 3 = 30 000 Pa.
La pression en B dépasse celle en A de 30 000 Pa, soit 0,3 bar.
Exemple
Ousmane plonge à 4 m de profondeur dans la mer (ρ = 1 030 kg/m³, g = 10 N/kg). La pression atmosphérique vaut 100 000 Pa. Calculer la pression qu'il subit.
p = p_atm + ρ × g × h = 100 000 + 1 030 × 10 × 4 = 100 000 + 41 200 = 141 200 Pa.
Soit environ 1,41 bar : c'est cette pression supplémentaire sur ses tympans qui lui fait mal aux oreilles.
Exemple
Un plongeur mesure une surpression (pression de l'eau seule) de 150 000 Pa dans un lac d'eau douce. À quelle profondeur est-il ? (g = 10 N/kg)
ρ × g × h = 150 000, donc h = 150 000 ÷ (1 000 × 10) = 150 000 ÷ 10 000 = 15 m.
4. Applications dans la vie courante
Les vases communicants. Quand plusieurs récipients ouverts sont reliés par le bas et contiennent un même liquide au repos, la surface libre est au même niveau dans tous les récipients, quelle que soit leur forme. En effet, au fond, la pression doit être la même en tous les points d'un même plan horizontal. Les maçons utilisent ce principe avec un simple tuyau transparent rempli d'eau (le niveau à eau) pour tracer des repères à la même hauteur sur deux murs éloignés.
Le château d'eau. Le réservoir est placé très haut : l'eau des robinets est reliée au réservoir comme dans des vases communicants. Plus le robinet est bas par rapport au niveau de l'eau du réservoir, plus la dénivellation h est grande et plus la pression est forte. C'est pourquoi l'eau coule fort au rez-de-chaussée et faiblement aux étages élevés.
Exemple
Le niveau de l'eau dans un château d'eau est 25 m au-dessus d'un robinet. Quelle surpression l'eau a-t-elle au robinet (robinet fermé) ? (g = 10 N/kg)
Δp = ρ × g × h = 1 000 × 10 × 25 = 250 000 Pa = 2,5 bar.
Les barrages. La pression de l'eau est la plus forte au fond de la retenue. C'est pourquoi la base d'un barrage est beaucoup plus épaisse que son sommet. En Guinée, les barrages hydroélectriques construits sur le Konkouré (Garafiri, Kaléta, Souapiti) en sont des exemples.
La plongée. Les plongeurs remontent lentement, par paliers, car leur corps doit s'habituer à la baisse de pression. Les sous-marins ont une coque très épaisse pour résister à la pression des grandes profondeurs.
La pression atmosphérique mesurée avec du mercure. Au niveau de la mer, l'air peut soutenir une colonne de mercure d'environ 76 cm dans un tube vide d'air (expérience du savant italien Torricelli). On vérifie avec le principe : 13 600 × 9,8 × 0,76 ≈ 101 300 Pa, soit environ 1 013 hPa. On retrouve bien la pression atmosphérique normale.
3Je retiens
Je retiens
Un liquide au repos exerce une pression dans toutes les directions, sur les parois et sur les objets immergés.
La pression augmente avec la profondeur ; elle est la même en tous les points d'un même plan horizontal ; elle ne dépend pas de la forme du récipient.
Principe fondamental de l'hydrostatique : pB − pA = ρ × g × h (Pa, kg/m³, N/kg, m), B étant le point le plus profond.
Pression à la profondeur h : p = p_atm + ρ × g × h.
Eau douce : ρ = 1 000 kg/m³ ; la pression augmente d'environ 1 bar tous les 10 m.
Vases communicants : un même liquide au repos atteint le même niveau dans tous les récipients reliés.
4Erreurs fréquentes
- Prendre la profondeur d'un seul point au lieu de la différence de profondeur h entre les deux points.
- Laisser h en centimètres : 80 cm = 0,8 m avant de calculer.
- Utiliser la masse volumique en g/cm³ : l'eau vaut 1 g/cm³, mais dans la formule il faut 1 000 kg/m³.
- Croire qu'un récipient plus large donne plus de pression au fond : seule la hauteur de liquide compte, pas la quantité.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Réponds par vrai ou faux et corrige les phrases fausses.
a) La pression dans un liquide est la même à toutes les profondeurs.
b) Dans un liquide au repos, deux points situés sur le même plan horizontal ont la même pression.
c) La pression d'un liquide ne s'exerce que vers le bas.
d) À la même profondeur, la pression est plus forte dans l'eau de mer que dans l'eau douce.
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a) Faux : la pression augmente avec la profondeur.
b) Vrai.
c) Faux : elle s'exerce dans toutes les directions (vers le bas, vers le haut, sur les côtés).
d) Vrai : l'eau de mer a une masse volumique plus grande (environ 1 030 kg/m³).
2Exercice 2
Calcule la différence de pression entre la surface et le fond d'une bassine d'eau douce de 40 cm de profondeur (g = 10 N/kg).
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h = 40 cm = 0,4 m ; Δ p = ρ × g × h = 1 000 × 10 × 0,4 = 4 000 Pa.
3Exercice 3
Dans un fût d'huile (ρ = 900 kg/m³), le point A est à 20 cm sous la surface et le point B à 80 cm. Calcule pB - pA (g = 10 N/kg).
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h = 80 - 20 = 60 cm = 0,6 m ; pB - pA = 900 × 10 × 0,6 = 5 400 Pa.
4Exercice 4
Explique pourquoi l'eau coule plus fort au robinet du rez-de-chaussée qu'à celui du troisième étage d'un immeuble alimenté par un château d'eau.
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Le robinet et le réservoir forment des vases communicants. La surpression au robinet vaut ρ × g × h, où h est la hauteur entre le niveau de l'eau du réservoir et le robinet. Au rez-de-chaussée, h est plus grand qu'au troisième étage : la pression est plus forte et l'eau coule plus fort.
5Exercice 5
(Type examen) Un pêcheur de Boffa plonge dans la mer. On donne : ρmer = 1 030 kg/m³, g = 10 N/kg, patm = 100 000 Pa.
a) Énonce le principe fondamental de l'hydrostatique.
b) Calcule la pression totale qu'il subit à 5 m de profondeur.
c) À quelle profondeur la pression totale vaut-elle 203 000 Pa ?
d) Son tympan a une surface d'environ 0,5 cm². Calcule la force pressante exercée par l'eau seule (sans l'air) sur son tympan à 5 m de profondeur.
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a) Dans un liquide au repos, la différence de pression entre deux points A et B est pB - pA = ρ × g × h, où h est la différence de profondeur entre A et B (B le plus profond).
b) p = patm + ρ × g × h = 100 000 + 1 030 × 10 × 5 = 100 000 + 51 500 = 151 500 Pa.
c) ρ × g × h = 203 000 - 100 000 = 103 000 Pa, donc h = 103 0001 030 × 10 = 103 00010 300 = 10 m.
d) Pression de l'eau seule : 51 500 Pa ; S = 0,5 cm2 = 0,00005 m2 ; F = p × S = 51 500 × 0,00005 = 2,575 N, soit environ 2,6 N.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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