Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 47
Dynamique du solide en rotation
Je sais appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation (somme des moments = J × accélération angulaire) à un solide tournant autour d'un axe fixe.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le moment d'une force et le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe
- Énoncer et appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation
- Étudier un système poulie et charge suspendue
- Utiliser l'énergie cinétique de rotation et le travail d'un couple
Avant de commencer : Le moment d'une force par rapport à un axe (équilibre d'un solide mobile autour d'un axe), le solide en rotation (ω, θ), les lois de Newton et le théorème de l'énergie cinétique.
1Je découvre
Dans un village près de Dabola, Mariama puise de l'eau. Le seau est attaché à une corde enroulée sur un treuil en bois, un gros cylindre qu'on tourne avec une manivelle. Quand elle lâche la manivelle, le seau plein redescend… mais moins vite que s'il tombait librement : le cylindre doit lui aussi se mettre à tourner, et il « résiste ».
Son cousin Sékou lui fait remarquer que la décortiqueuse du moulin à riz, avec son lourd volant en fonte, met plusieurs secondes à démarrer et continue de tourner longtemps après qu'on a coupé le moteur.
Pour faire avancer un objet, il faut une force, et la masse mesure sa résistance. Pour faire tourner un objet, il faut quelque chose d'équivalent, et une autre grandeur doit mesurer sa résistance à la rotation.
Quelle loi relie les forces qui font tourner un solide à la variation de sa vitesse de rotation ?
2Je comprends
1. Rappels : le mouvement de rotation
Un solide tourne autour d'un axe fixe Δ. Chaque point décrit un cercle centré sur l'axe. On repère la rotation par :
- l'abscisse angulaire θ (rad) ;
- la vitesse angulaire ω = dotθ (rad/s) ;
- l'accélération angulaire ddotθ = dotω (rad/s²).
Un point à la distance r de l'axe a la vitesse v = rω et l'accélération tangentielle at = rddotθ.
2. Le moment d'une force
Le moment d'une force F par rapport à l'axe Δ (force perpendiculaire à l'axe) est :
mathcalM_Δ(F) = ± F × d
où d est le bras de levier, distance entre l'axe et la droite d'action de la force. On compte le moment positif si la force tend à faire tourner dans le sens choisi comme positif, négatif sinon. Unité : le newton-mètre (N·m).
Une force dont la droite d'action rencontre l'axe (ou lui est parallèle) a un moment nul : c'est le cas de la réaction de l'axe et, souvent, du poids du solide si son centre d'inertie est sur l'axe.
Un couple est un ensemble de deux forces opposées de droites d'action différentes ; son moment mathcalM est le même quel que soit l'axe (moteur, frein, torsion).
3. Le moment d'inertie
Le moment d'inertie J_Δ d'un solide par rapport à l'axe Δ mesure sa résistance à la mise en rotation. Pour un solide formé de points de masses mi situés aux distances ri de l'axe :
J_Δ = Σ mi ri2 (en kg·m2)
Il dépend de la masse et de sa répartition : plus la matière est loin de l'axe, plus J est grand. C'est pour cela qu'on place la fonte d'un volant sur sa jante.
| Solide homogène (masse m) | Axe | J_Δ |
|---|---|---|
| Point matériel à la distance r | — | mr2 |
| Cerceau ou cylindre creux de rayon R | son axe | mR2 |
| Disque ou cylindre plein de rayon R | son axe | 12mR2 |
| Sphère pleine de rayon R | un diamètre | 25mR2 |
| Tige de longueur l | perpendiculaire, par son milieu | 112ml2 |
| Tige de longueur l | perpendiculaire, par une extrémité | 13ml2 |
Théorème de Huygens (en plus pour SM). Si JG est le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre d'inertie G, le moment par rapport à un axe parallèle situé à la distance a vaut J_Δ = JG + ma2. Exemple : tige par une extrémité, 112ml2 + m(l2)2 = 13ml2.
4. La relation fondamentale de la dynamique de rotation
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe Δ, dans un référentiel galiléen :
Σ mathcalM_Δ(Fext) = J_Δ ddotθ
La somme des moments des forces extérieures est égale au produit du moment d'inertie par l'accélération angulaire. C'est l'analogue en rotation de ΣF = ma.
| Translation | Rotation |
|---|---|
| masse m | moment d'inertie J_Δ |
| force F | moment mathcalM_Δ |
| accélération a | accélération angulaire ddotθ |
| Σ F = ma | ΣmathcalM_Δ = J_Δddotθ |
| Ec = 12mv2 | Ec = 12J_Δω2 |
| W = F × ell | W = mathcalM × Δθ |
Conséquences :
- si ΣmathcalM_Δ = 0, alors ω est constante : rotation uniforme (ou repos) ;
- si ΣmathcalM_Δ est constante non nulle, ddotθ est constante : rotation uniformément variée, avec ω = ddotθt + ω0 et θ = 12ddotθt2 + ω0 t + θ0.
5. Énergie cinétique et travail en rotation
L'énergie cinétique d'un solide en rotation vaut Ec = 12J_Δω2. Le travail d'un couple de moment constant mathcalM pendant une rotation Δθ vaut W = mathcalMΔθ et sa puissance P = mathcalMω.
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : Δ Ec = Σ W.
Exemple
Le volant de la décortiqueuse est un disque plein homogène de masse 20 kg et de rayon 0,30 m. Le moteur exerce un couple constant de 4,5 N·m. Les frottements sont négligés.
J = ½ m R² = 0,5 × 20 × 0,09 = 0,90 kg·m².
Relation fondamentale : 4,5 = 0,90 × θ'', donc θ'' = 5,0 rad/s².
Après 4,0 s, en partant du repos : ω = 5,0 × 4,0 = 20 rad/s et θ = ½ × 5,0 × 16 = 40 rad.
Contrôle énergétique : E_c = ½ × 0,90 × 20² = 180 J et W = 4,5 × 40 = 180 J. Les deux résultats concordent.
6. Le système poulie et charge
Une charge de masse m est suspendue à un fil inextensible, de masse négligeable, enroulé sur une poulie (ou un treuil) de rayon R et de moment d'inertie J, mobile sans frottement autour de son axe. Le fil ne glisse pas.
- Charge (translation, axe vers le bas) : mg - T = ma.
- Poulie (rotation) : le fil exerce une force T avec le bras de levier R ; poids et réaction de l'axe ont un moment nul : TR = Jddotθ.
- Non-glissement : a = Rddotθ.
En combinant : T = JaR2, puis mg - JaR2 = ma, d'où :
a = mgm + JR2
L'accélération est plus petite que g : c'est le seau de Mariama qui descend moins vite qu'en chute libre.
- 1Charge : je fais le bilan (poids, tension) et j'écris mg − T = ma
- 2Poulie : je fais le bilan des moments ; seul le fil a un moment, TR = Jθ''
- 3Fil sans glissement : a = Rθ''
- 4Je remplace T = Ja/R² dans l'équation de la charge
- 5J'obtiens a = mg / (m + J/R²), puis T = m(g − a)
Exemple
Le treuil du puits est un cylindre plein homogène de masse M = 2,0 kg et de rayon R = 0,10 m. Le seau plein a une masse m = 3,0 kg. On lâche le système sans vitesse. g = 9,8 m/s².
J = ½ M R² = 0,5 × 2,0 × 0,010 = 0,010 kg·m² ; J/R² = 1,0 kg.
a = mg / (m + J/R²) = 3,0 × 9,8 / (3,0 + 1,0) = 7,35 m/s² (au lieu de 9,8 en chute libre).
T = m(g − a) = 3,0 × 2,45 = 7,35 N ; contrôle : Ja/R² = 1,0 × 7,35 = 7,35 N.
θ'' = a/R = 73,5 rad/s².
Méthode
Pour appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation :
- Je définis le solide, l'axe Δ, le sens positif de rotation et le référentiel galiléen.
- Je fais le bilan des forces extérieures et je calcule le moment de chacune (signe, bras de levier).
- Je calcule J_Δ avec le tableau (et Huygens si l'axe ne passe pas par G).
- J'écris Σ M_Δ = J_Δ θ'' ; s'il y a d'autres solides, j'écris Σ F = ma pour chacun et la condition de non-glissement a = Rθ''.
- Je résous, puis je vérifie par l'énergie si possible.
3Je retiens
Je retiens
Moment d'une force : M_Δ = ± F × d (d : bras de levier) ; il est nul si la force rencontre l'axe.
Moment d'inertie : J_Δ = Σ m_i r_i² (kg·m²) ; disque plein ½mR², cerceau mR², tige par son milieu ml²/12.
Relation fondamentale : Σ M_Δ(F_ext) = J_Δ θ''.
Σ M_Δ = 0 : rotation uniforme ; Σ M_Δ constante : rotation uniformément variée.
Énergie cinétique : E_c = ½ J_Δ ω² ; travail d'un couple : W = M Δθ ; puissance P = M ω.
Poulie et charge : a = mg/(m + J/R²), avec a = Rθ''.
4Erreurs fréquentes
- Écrire que la tension du fil est égale au poids de la charge : quand la poulie accélère, T = m(g − a) < mg.
- Oublier le carré du rayon dans J = ½mR², ou utiliser le diamètre au lieu du rayon.
- Donner un moment au poids de la poulie ou à la réaction de l'axe : leur droite d'action passe par l'axe, leur moment est nul.
- Mélanger les unités angulaires : θ en radians, ω en rad/s ; convertir les tours (1 tr = 2π rad).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le moment d'inertie : a) d'un disque plein de masse 0,50 kg et de rayon 20 cm par rapport à son axe ; b) d'une tige de 1,0 m et 0,60 kg par rapport à un axe perpendiculaire passant par une extrémité.
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a) J = 12 × 0,50 × 0,202 = 0,010 kg·m². b) J = 13 × 0,60 × 1,02 = 0,20 kg·m².
2Exercice 2
Un ventilateur a un moment d'inertie J = 4,0 × 10-3 kg·m². Il passe du repos à 1 200 tr/min en 3,0 s avec une accélération angulaire constante. Calcule l'accélération angulaire, le moment du couple moteur (frottements négligés) et l'énergie cinétique finale.
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ω = 1200 × 2π60 = 40π ≈ 125,7 rad/s. ddotθ = ωt = 125,73,0 ≈ 41,9 rad/s². mathcalM = Jddotθ = 4,0 × 10-3 × 41,9 ≈ 0,168 N·m. Ec = 12Jω2 = 0,5 × 4,0 × 10-3 × 15 791 ≈ 31,6 J.
3Exercice 3
Le volant de la décortiqueuse (J = 0,90 kg·m²) tourne à 20 rad/s. On coupe le moteur ; il s'arrête après 10 tours. Calcule le moment du couple de frottement, supposé constant.
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Rotation : Δθ = 10 × 2π ≈ 62,8 rad. Théorème de l'énergie cinétique : 0 - 12Jω02 = mathcalMfΔθ, donc mathcalMf = -0,5 × 0,90 × 40062,8 ≈ -2,9 N·m. Le couple de frottement a pour moment 2,9 N·m en valeur absolue, opposé au sens de rotation.
4Exercice 4
Une masse m = 200 g est suspendue à un fil enroulé sur un disque plein de masse 0,50 kg et de rayon 0,20 m, mobile sans frottement (g = 9,8 m/s²). Calcule l'accélération de la masse et la tension du fil.
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J = 0,010 kg·m², JR2 = 0,0100,040 = 0,25 kg. a = 0,200 × 9,80,200 + 0,25 = 1,960,45 ≈ 4,36 m/s². T = m(g - a) = 0,200 × 5,44 ≈ 1,09 N.
5Exercice 5
(Type BAC) Un cylindre plein homogène de masse M = 4,0 kg et de rayon R = 0,10 m peut tourner sans frottement autour de son axe horizontal. Un fil inextensible, de masse négligeable, enroulé sur le cylindre, porte à son extrémité une charge de masse m = 1,0 kg. On lâche le système sans vitesse (g = 9,8 m/s²).
a) Calcule le moment d'inertie du cylindre.
b) En appliquant la deuxième loi de Newton à la charge et la relation fondamentale de la dynamique de rotation au cylindre, établis l'expression de l'accélération a de la charge et calcule-la.
c) Calcule la tension du fil.
d) Calcule, au bout de 2,0 s, la vitesse de la charge, la distance parcourue et la vitesse angulaire du cylindre.
e) Vérifie la conservation de l'énergie à cet instant.
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a) J = 12MR2 = 0,5 × 4,0 × 0,010 = 0,020 kg·m².
b) Charge : mg - T = ma. Cylindre : TR = Jddotθ avec a = Rddotθ, donc T = JaR2. D'où a = mgm + JR2 = 1,0 × 9,81,0 + 2,0 ≈ 3,27 m/s².
c) T = m(g - a) = 1,0 × (9,8 - 3,27) ≈ 6,53 N.
d) v = at = 3,27 × 2,0 ≈ 6,53 m/s ; h = 12at2 = 0,5 × 3,27 × 4,0 ≈ 6,53 m ; ω = vR ≈ 65,3 rad/s.
e) Énergie perdue par la charge (énergie potentielle) : mgh = 1,0 × 9,8 × 6,53 ≈ 64,0 J. Énergies cinétiques : 12mv2 = 0,5 × 1,0 × 42,7 ≈ 21,3 J et 12Jω2 = 0,5 × 0,020 × 4 268 ≈ 42,7 J. Total : ≈ 64,0 J. L'énergie mécanique se conserve (pas de frottement).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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